已知橢圓C以過點A（1，3/2），兩個焦點為（-1，0）、（
已知橢圓C以過點A（1，3/2），兩個焦點為（-1，0）、（1，
已知橢圓C以過點A（1，3/2），兩個焦點為（-1，0）、（1，0）。
（1）求橢圓C的方程。
（2）E、F是橢圓C上的兩個動點，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個定值。
正確答案： 考點：橢圓
解：（1）a²-b²=c² =1
設(shè)橢圓方程為x²/（b²+1）+y²/b²=1
將（1，3/2）代入整理得4b^4-9b²-9=0 解得b²=3 （另一值舍）
所以橢圓方程為x²/4+y²/3=1
（2）
設(shè)AE斜率為k
則AE方程為y-(3/2)=k(x-1)①
x²/4+y²/3=1 ②
①，②聯(lián)立得出兩個解一個是A（1,3/2）另一個是E（x1，y1）
①代入②消去y得（1/4+k²/3）x²-（2k²/3-k）x+k²/3-k-1/4=0
根據(jù)韋達定理 x1·1=（k²/3-k-1/4）/（1/4+k²/3）③
將③的結(jié)果代入①式得
y1=（-k²/2-k/2+3/8）/(1/4+k²/3)
設(shè)AF斜率為-k，F(xiàn)（x2，y2）
則AF方程為y-（3/2）=-k（x-1）④
x²/4+y²/3=1 ②
②④聯(lián)立同樣解得
x2=（k²/3+k-1/4）/（1/4+k²/3）
y2=（-k²/2+k/2+3/8）/（1/4+k²/3）
EF斜率為
（y2-y1）/(x2-x1)=1/2
所以直線EF斜率為定值，這個定值是1/2。
補充練習：
源于查字典網(wǎng)
（1）求橢圓C的方程。
（2）E、F是橢圓C上的兩個動點，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個定值。
正確答案： 考點：橢圓
解：（1）a²-b²=c² =1
設(shè)橢圓方程為x²/（b²+1）+y²/b²=1
將（1，3/2）代入整理得4b^4-9b²-9=0 解得b²=3 （另一值舍）
所以橢圓方程為x²/4+y²/3=1
（2）
設(shè)AE斜率為k
則AE方程為y-(3/2)=k(x-1)①
x²/4+y²/3=1 ②
①，②聯(lián)立得出兩個解一個是A（1,3/2）另一個是E（x1，y1）
①代入②消去y得（1/4+k²/3）x²-（2k²/3-k）x+k²/3-k-1/4=0
根據(jù)韋達定理 x1·1=（k²/3-k-1/4）/（1/4+k²/3）③
將③的結(jié)果代入①式得
y1=（-k²/2-k/2+3/8）/(1/4+k²/3)
設(shè)AF斜率為-k，F(xiàn)（x2，y2）
則AF方程為y-（3/2）=-k（x-1）④
x²/4+y²/3=1 ②
②④聯(lián)立同樣解得
x2=（k²/3+k-1/4）/（1/4+k²/3）
y2=（-k²/2+k/2+3/8）/（1/4+k²/3）
EF斜率為
（y2-y1）/(x2-x1)=1/2
所以直線EF斜率為定值，這個定值是1/2。
補充練習：
源于查字典網(wǎng)
